Ortalama kare hata

Kayıp fonksiyonu (loss function), bir modelin tahminlerinin (prediction) hedef değerlerden (target) ne kadar uzak olduğunu tek bir sayıyla ölçer. En yaygın olanlarından biri ortalama kare hatadır (mean squared error, MSE).

mse(y_hat, y) fonksiyonunu yaz. y_hat modelin tahminlerini, y target’ları içerir. İkisi de şekli (shape) (n,) olan birer dizidir (array).

Hesap üç adımdır:

1. Her örnek (sample) için tahminle target’ın farkını al.
2. Farkın karesini hesapla.
3. Bu karelerin $N$ örnek üzerindeki ortalamasını döndür.

Formülü şudur:

Tahminler target’lara ne kadar yakınsa MSE o kadar küçüktür. Hepsi tam isabetliyse MSE $0$ olur. Tek bir Python float döndür.

Örnekler

Gereksinimler

• y_hat ve y aynı (n,) shape’inde array’lerdir. En az bir örnek içerirler.
• Dönüş değeri tek bir float: array ya da liste değil. np.mean’in verdiği np.float64 de kabul edilir. float(...) ile çevirmek zorunda değilsin.
• Önce her hatanın karesini al, sonra ortalamayı hesapla.
• y_hat’ı ve y’yi değiştirme. Fonksiyon bittiğinde çağıran kodun array’leri aynı kalır.
• Örnekler üzerinde döngü kullanma: tek bir NumPy ifadesi yeter.

MSE’yi üç örnekle hesapla. Hatalar $\hat{y}_i - y_i$ sırasıyla $-1$, $2$ ve $0$ olsun:

1. Hataların karesini al: $1$, $4$ ve $0$.
2. Karelerin ortalamasını al: $5/3$, yani yaklaşık $1{,}67$.

Kare almak işareti ortadan kaldırır. Hataların kendisini ortalarsan $-2$ ile $+2$ birbirini götürür. İki tahmin de yanlış olduğu hâlde sonuç $0$ çıkar.

Kare ayrıca büyük hataları küçüklerden daha ağır sayar. Hata $1$ iken karesi $1$, hata $10$ iken karesi $100$ olur. Bu yüzden MSE, çok yanlış tek bir tahminden güçlü biçimde etkilenir.

Hataların mutlak değerinin ortalaması olan ortalama mutlak hata (mean absolute error, MAE) bu kadar etkilenmez:

Hangisinin uygun olduğu veriye bağlıdır.

MSE, modelin parametrelerine (parameter) bağlı bir sayıdır. Ağırlık (weight) ve sapma (bias) gibi parametreler değişince tahminler değişir. Dolayısıyla kayıp (loss) da değişir.

Öğrenme, bu loss’u en küçük yapan parametreleri aramaktır. Bunu Gradyan inişi dersinde yapacaksın.

Daha fazlası için Model, parametre, kayıp dersine bak.

Hataları al, karelerinin ortalamasını hesapla ve sonucu bir Python float’una çevir:

import numpy as npdef mse(y_hat: np.ndarray, y: np.ndarray) -> float:    return float(np.mean((y_hat - y) ** 2))

Sık yapılan hata, ortalamayı aldıktan sonra karesini almaktır (np.mean(y_hat - y) ** 2). Hataların işaretleri birbirini götürür. Bu yüzden $-1$ ve $+1$ hataları $0$ verir, oysa doğru MSE $1$‘dir.

Kare, ortalamanın içinde, her hataya ayrı ayrı uygulanmalıdır.